Калькулятор векторов

Анализируйте и визуализируйте 2D- и 3D-векторы мгновенно. Введите координаты векторов u и v, чтобы вычислить их сумму, разность, скалярное произведение, векторное произведение, модули, единичные векторы, проекцию и угол между ними. Изучайте полные пошаговые вычисления вместе с интерактивным графиком координат и регулировкой поворота в перспективе. Все расчёты выполняются на 100 % локально в вашем браузере.

Vector Computation & Graphing

Input coordinates in standard format, select dimension mode, and view computed linear algebra parameters. Hover or click result items to review steps.

Quick Presets

Vector u Input

u_x (horizontal)

u_y (vertical)

Vector v Input

v_x (horizontal)

v_y (vertical)

Scalar Multiplier (c)

Vector Space Graph

Plot Resultant:

Vectors represented: u, v, and resultant dashed. Graph scales dynamically.

Calculated Properties & Equations

Magnitudes (Lengths)

||u||5

√(3² + 4² )

||v||2.2361

√(1² + 2² )

Dot Product (Scalar)

u · v11

u · v = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z

= (3)·(1) + (4)·(2)

= 3 + 8

Angle Between Vectors

θ (Degrees)10.3048°

θ (Radians)0.1799 rad

cos(θ) = (u · v) / (||u|| * ||v||)

= 11 / (5 * 2.2361)

= 0.9839

Sum & Difference

u + v (Sum)(4, 6)

(3 + 1, 4 + 2)

u - v (Difference)(2, 2)

(3 - 1, 4 - 2)

Scalar Multiplications (c = 2)

c · u(6, 8)

(2 × 3, 2 × 4)

c · v(2, 4)

(2 × 1, 2 × 2)

Cross Product (Vector)

u × v (z-component magnitude)2

u_xv_y - u_yv_x = (3)(2) - (4)(1)

Unit Vectors (Directional)

û (Unit u)(0.6, 0.8)

u / ||u|| = (3/5, 4/5)

v̂ (Unit v)(0.4472, 0.8944)

v / ||v|| = (1/2.2361, 2/2.2361)

Orthogonal Projections

proj_v u(2.2, 4.4)

((u · v) / ||v||²) · v = (2.2) · v

proj_u v(1.32, 1.76)

((u · v) / ||u||²) · u = (0.44) · u

Почему стоит использовать наш калькулятор векторов?

Мгновенные вычисления в 2D и 3D: выполняйте сложное сложение, вычитание, скалярное и векторное произведение, расчёт углов и проекций в реальном времени. Калькулятор векторов обрабатывает введённые данные сразу в браузере без задержек.
Безопасный онлайн калькулятор векторов: калькулятор векторов выполняется полностью на стороне клиента на вашем устройстве. Ваши координаты и математические выражения никогда не отправляются на сервер, что гарантирует полную безопасность и приватность.
Графики и визуализация векторов: динамически отображайте векторы u и v вместе с их результатами. Переключайтесь между двумерной координатной сеткой и трёхмерной перспективной проекцией с регулируемыми ползунками угла поворота для восприятия глубины.
Подробная пошаговая логика: изучайте понятия линейной алгебры с подробными пошаговыми пояснениями. Наш инструмент показывает формулы, промежуточные умножения координат и итоговые сложения для каждой операции.

Типичные случаи использования калькулятора векторов

Задания по линейной алгебре: студенты используют калькулятор векторов для проверки решённых вручную заданий по линейной алгебре, математическому анализу и многомерной математике. Мгновенно сверяйте скалярное и векторное произведение, модули и углы.
Механика и динамика в физике: инженеры и студенты-физики моделируют силы, векторы скорости и моменты вращения. Вычисляйте равнодействующие силы, складывая 2D/3D-векторы компонент, и находите перпендикулярные векторы момента через векторное произведение.
Разработка 3D-игр и рендеринг: разработчики вычисляют направления камеры, углы освещения и векторы нормалей поверхностей. Калькулятор векторов помогает проверять вычисления скалярного произведения (используется в отсечении нелицевых граней и диффузном освещении) и векторного произведения.
Алгоритмы компьютерной графики: используйте калькулятор векторов для изучения преобразований аналитической геометрии. Определяйте векторы проекции, чтобы проецировать координаты на произвольные плоскости, и находите углы для расчёта отражённых лучей.
Навигация и планирование полёта: учитывайте углы поправки на ветер и маршруты полёта. Моделируйте векторы воздушной скорости и ветра, чтобы вычислить путевую скорость и истинный курс с помощью сложения векторов и угловой тригонометрии.
Справочник по аналитической геометрии: проверяйте геометрические свойства — параллельность, перпендикулярность и коллинеарность. Узнавайте, равен ли угол 0, 90 или 180 градусам и равно ли скалярное произведение нулю.

Что такое вектор?

Вектор — это математический объект, обладающий и модулем (длиной), и направлением. В аналитической геометрии вектор задаётся своими компонентами вдоль осей координат: u = (u x , u y ) в 2D и u = (u x , u y , u z ) в 3D. Векторы лежат в основе физики и информатики, описывая скорость, силы, ускорение и пространственную ориентацию. Наш калькулятор векторов помогает мгновенно выполнять и визуализировать вычисления с координатами.

Как работает наш калькулятор векторов

Выберите размерность и введите координаты: выберите режим 2D- или 3D-векторов. Введите целые числа, десятичные дроби или дроби (например, 1/2 или -3/4 ) в поля для вектора u и вектора v .
Проверьте вычисленные результаты: калькулятор векторов в реальном времени вычисляет суммы, разности, модули, скалярное и векторное произведение, углы и проекции прямо в браузере.
Визуализируйте и изучайте шаги: посмотрите координаты в виде направленных стрелок на адаптивной сетке (двумерная декартова плоскость или трёхмерный перспективный график) и изучите подробные пошаговые пояснения к каждому результату.

Основные векторные операции и формулы

Наш инструмент выполняет следующие векторные операции по стандартным алгебраическим формулам:

Сложение векторов: сложение соответствующих компонент: (u x + v x , u y + v y , u z + v z ).
Скалярное произведение: скалярная операция, представляющая умножение координат: u · v = u x v x + u y v y + u z v z .
Векторное произведение (только 3D): даёт вектор, ортогональный обоим: u × v = (u y v z - u z v y , u z v x - u x v z , u x v y - u y v x ).
Модуль вектора: декартово расстояние или длина вектора: ||u|| = √(u x ² + u y ² + u z ²).
Проекция вектора: ортогональная тень вектора u на вектор v: proj v u = ((u · v) / ||v||²) · v.
Угол между векторами: выводится из соотношения скалярного произведения: cos(θ) = (u · v) / (||u|| · ||v||), откуда θ = arccos(cos(θ)).

Часто задаваемые вопросы

Калькулятор векторов — это инструмент, который выполняет математические операции над двумерными и трёхмерными векторами. Он принимает координаты векторов u и v и вычисляет их сумму, разность, скалярное произведение, векторное произведение, модули, единичные векторы, проекцию и угол между ними. Наш калькулятор векторов работает полностью в браузере и не требует регистрации.

Скалярное произведение двух векторов u и v вычисляется умножением соответствующих компонент и сложением результатов: u · v = ux*vx + uy*vy + uz*vz. Это скалярная величина, равная произведению их модулей на косинус угла между ними. Если скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны (перпендикулярны).

Векторное произведение — это операция, дающая третий вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам. Оно определено именно в трёхмерном пространстве, поскольку для представления перпендикулярного результата нужна третья размерность. Для двух 2D-векторов можно вычислить модуль векторного произведения, который соответствует z-компоненте их трёхмерных аналогов.

Проекция вектора u на вектор v (обозначается proj_v u) — это ортогональная проекция u на прямую, заданную v. Формула: proj_v u = ((u · v) / ||v||²) * v. В результате получается вектор, направленный вдоль v (или в противоположную сторону, если скалярное произведение отрицательно), с модулем, равным компоненте u вдоль v.

Да. Наш калькулятор векторов поддерживает целые числа, десятичные (например, 2,5) и дробные форматы (например, 1/2 или -3/4) для всех координат. Калькулятор автоматически преобразует дроби в числовые значения, чтобы расчёты были точными, а пошаговые записи — понятными.

Да. Калькулятор векторов работает полностью на стороне клиента, в вашем браузере. Все введённые координаты, математические операции и построения графиков выполняются на вашем локальном устройстве. Данные не отправляются на наши серверы, что гарантирует полную конфиденциальность и безопасность.