Таблица тригонометрических значений
Полная интерактивная справочная таблица и пользовательский решатель тригонометрических значений. Смотрите точные дробные и радикальные значения sin, cos, tan, csc, sec и cot для всех стандартных углов единичной окружности от 0° до 360° (и их эквиваленты в радианах). Вычисляйте значения для любого произвольного угла и визуализируйте векторы на нашей динамической диаграмме единичной окружности.
Interactive trigonometric reference chart. Input any angle in degrees or radians to calculate standard and exact fractional values for all 6 trig functions, and visualize the corresponding vector and projections on the interactive Unit Circle.
Standard Angles Trigonometry Table (0° - 360°)
Click row to solve angle| Degrees | Radians | sin θ | cos θ | tan θ | csc θ | sec θ | cot θ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | Undefined | 1 | Undefined |
| 30° | π/6 | 12 | √32 | √33 | 2 | 2√33 | √3 |
| 45° | π/4 | √22 | √22 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | π/3 | √32 | 12 | √3 | 2√33 | 2 | √33 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | Undefined | 1 | Undefined | 0 |
| 120° | 2π/3 | √32 | -12 | -√3 | 2√33 | -2 | -√33 |
| 135° | 3π/4 | √22 | -√22 | -1 | √2 | -√2 | -1 |
| 150° | 5π/6 | 12 | -√32 | -√33 | 2 | -2√33 | -√3 |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 | Undefined | -1 | Undefined |
| 210° | 7π/6 | -12 | -√32 | √33 | -2 | -2√33 | √3 |
| 225° | 5π/4 | -√22 | -√22 | 1 | -√2 | -√2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | -√32 | -12 | √3 | -2√33 | -2 | √33 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 | Undefined | -1 | Undefined | 0 |
| 300° | 5π/3 | -√32 | 12 | -√3 | -2√33 | 2 | -√33 |
| 315° | 7π/4 | -√22 | √22 | -1 | -√2 | √2 | -1 |
| 330° | 11π/6 | -12 | √32 | -√33 | -2 | 2√33 | -√3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | Undefined | 1 | Undefined |
Trigonometric Function Signs by Quadrant (ASTC Cheat Sheet)
sin, cos, tan, csc, sec, cot ratios are all positive.
Only sin and csc are positive. cos, tan, sec, cot are negative (-).
Only tan and cot are positive. sin, cos, csc, sec are negative (-).
Only cos and sec are positive. sin, tan, csc, cot are negative (-).
Почему стоит использовать нашу таблицу тригонометрических значений?
- Полная справочная таблица 0°–360°: показывает точные дробные и радикальные значения всех 6 тригонометрических функций (sin, cos, tan, csc, sec, cot) при каждом стандартном угле от 0° до 360° в одной прокручиваемой таблице.
- Решатель произвольных углов: введите любой угол в градусах или радианах и мгновенно получите точные выражения (для стандартных углов) или высокоточные приближения с 6 знаками после запятой (для произвольных углов).
- Интерактивный визуализатор единичной окружности: живая SVG единичная окружность анимирует вектор, проекцию косинуса и проекцию синуса для любого введённого угла, делая абстрактные отношения визуально интуитивными.
- Шпаргалка по четвертям ASTC: включает понятное руководство по четвертям All-Students-Take-Calculus, показывающее, какие тригонометрические функции положительны или отрицательны в каждой из четырёх четвертей.
- Мгновенная отрисовка точных дробей: значения стандартных углов отображаются в виде форматированных встроенных дробей (например, √3/2) с правильным расположением числителя над знаменателем, а не как простые текстовые строки.
- 100 % приватно и на стороне клиента: каждое вычисление, отрисовка таблицы и SVG-анимация выполняются полностью в вашем браузере. Никакие данные не передаются на серверы — ваши вычисления остаются конфиденциальными.
Типичные случаи использования таблицы тригонометрических значений
- Ученики и домашние задания: быстро находите sin, cos или tan для стандартных углов, чтобы проверить ответы домашних заданий, подготовку к экзаменам и развить интуитивное запоминание значений единичной окружности.
- Подготовка к экзаменам и запоминание: используйте выделенную цветом справочную таблицу, чтобы запомнить точные значения, такие как sin 30° = 1/2, cos 45° = √2/2 и tan 60° = √3, с чётко отформатированными дробями.
- Инженерные расчёты: инженеры-механики и электрики используют точные тригонометрические значения при расчёте сил, форм сигналов, векторных компонентов и кинематики вращения.
- Физика и анализ волн: физики, анализирующие волновые уравнения, колебания или движение снаряда, нуждаются в точных значениях sin/cos для расчёта амплитуд, частот и смещений.
- Компьютерная графика и разработка игр: разработчики игр и 3D-художники полагаются на точные тригонометрические отношения для матриц поворота, проекций камеры и плавной интерполяции анимации под ключевыми углами.
- Архитектура и геодезия: геодезисты и архитекторы используют тригонометрические отношения для расчёта уклона крыш, углов лестниц, несущих нагрузок и триангуляционных измерений для чертежей.
Что такое тригонометрические функции?
Тригонометрические функции — это математические отношения между углами и отношениями сторон прямоугольного треугольника. Шесть основных тригонометрических функций: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tan), косеканс (csc), секанс (sec) и котангенс (cot). Для угла θ в прямоугольном треугольнике со сторонами, обозначенными как противолежащий катет (opp), прилежащий катет (adj) и гипотенуза (hyp):
- sin θ = противолежащий / гипотенуза
- cos θ = прилежащий / гипотенуза
- tan θ = противолежащий / прилежащий = sin θ / cos θ
- csc θ = 1 / sin θ (гипотенуза / противолежащий)
- sec θ = 1 / cos θ (гипотенуза / прилежащий)
- cot θ = 1 / tan θ (прилежащий / противолежащий)
Единичная окружность и стандартные углы
Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Для любого угла θ точка на единичной окружности имеет координаты (cos θ, sin θ). Это геометрическое определение расширяет тригонометрию за пределы прямоугольных треугольников на все действительные углы (включая отрицательные и больше 360°). Чаще всего запоминаемые стандартные углы — это кратные 30° (π/6) и 45° (π/4), выведенные из двух особых прямоугольных треугольников:
- Треугольник 45°-45°-90°: стороны в отношении 1 : 1 : √2. Даёт sin 45° = cos 45° = √2/2.
- Треугольник 30°-60°-90°: стороны в отношении 1 : √3 : 2. Даёт sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2.
Градусы против радиан
Углы можно измерять в градусах (полный круг = 360°) или в радианах (полный круг = 2π радиан). Радианы — естественная единица для тригонометрии в математическом анализе и высшей математике, потому что производные тригонометрических функций проще (d/dx(sin x) = cos x выполняется только в радианах). Формула преобразования:
радианы = градусы × (π / 180) | градусы = радианы × (180 / π)
Например, 180° равно π радиан, 90° равно π/2 радиан, а 45° равно π/4 радиан.
Опорные углы и знаки по четвертям
Опорный угол — это положительный острый угол (0°–90°) между конечной стороной любого угла и осью x. Все тригонометрические значения угла можно вычислить по его опорному углу, а знак определяется четвертью, в которой находится угол (по правилу ASTC):
Например, sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2 (II четверть, sin положителен). А cos 150° = −cos 30° = −√3/2 (отрицателен во II четверти).
- I четверть (0°-90°): все функции положительны.
- II четверть (90°-180°): положительны только sin и csc.
- III четверть (180°-270°): положительны только tan и cot.
- IV четверть (270°-360°): положительны только cos и sec.
Часто задаваемые вопросы
Таблица тригонометрических значений — это исчерпывающий математический справочник, в котором перечислены точные значения шести основных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса, косеканса, секанса и котангенса) для стандартных углов как в градусах (от 0° до 360°), так и в радианах.
Точные значения выводятся из особых прямоугольных треугольников: треугольника 45°-45°-90° (соотношение сторон 1:1:√2) и треугольника 30°-60°-90° (соотношение сторон 1:√3:2). Применяя определения тригонометрических отношений (противолежащий катет/гипотенуза, прилежащий катет/гипотенуза и т. д.) к этим треугольникам, вычисляют точные значения, такие как 1/2, √2/2 и √3/2.
Стандартные углы — это кратные 30° и 45° углы на единичной окружности. Основные стандартные углы первой четверти: 0° (0 рад), 30° (π/6 рад), 45° (π/4 рад), 60° (π/3 рад) и 90° (π/2 рад). Остальные стандартные углы во II, III и IV четвертях имеют те же опорные углы.
Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте угол в градусах на π/180. Например, 180° * (π/180) = π радиан, а 30° * (π/180) = π/6 радиан.
Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу (tan θ = sin θ / cos θ). При 90 градусах sin(90°) = 1 и cos(90°) = 0. Поскольку деление на ноль математически не определено, тангенс не определён при 90° (что представляет асимптоту на графике тангенса).
Правило ASTC («All Students Take Calculus») помогает запомнить, какие функции положительны в каждой четверти: I четверть (A) — все функции положительны; II четверть (S) — синус (и косеканс) положительны; III четверть (T) — тангенс (и котангенс) положительны; IV четверть (C) — косинус (и секанс) положительны.
Да. Наш решатель произвольных углов позволяет ввести любой десятичный угол в градусах или радианах. Он мгновенно вычислит точное значение, если это стандартное кратное, или предоставит высокоточное десятичное приближение вместе с опорным углом, четвертью и алгебраическими знаками.
Безусловно. Все тригонометрические вычисления, форматирование таблицы и отрисовка SVG единичной окружности выполняются полностью на стороне клиента в вашем браузере. Никакие введённые значения не отправляются на внешние серверы, что обеспечивает 100 % конфиденциальность данных.