Penyelesai Persamaan Kubik
Selesaikan persamaan kubik apa pun ax³ + bx² + cx + d = 0 secara online dan gratis. Penyelesai persamaan kubik kami menerapkan metode Cardano dan metode trigonometri untuk menemukan ketiga akar - nyata atau kompleks - beserta diskriminan, koefisien persamaan kubik tereduksi, verifikasi rumus Vieta, dan solusi lengkap langkah demi langkah. Semua perhitungan berjalan lokal di browser Anda. Tanpa pendaftaran.
Enter the four coefficients a, b, c, d for the equation ax³ + bx² + cx + d = 0. The cubic equation solver applies Cardano's method and the trigonometric method to find all three roots - real or complex - with a full step-by-step breakdown. All calculations run locally in your browser.
Cannot be 0
- Substitute x = t − b/(3a) to eliminate the x² term → depressed cubic t³ + pt + q = 0
- Compute discriminant Δ = −4p³ − 27q²
- Δ > 0: three distinct real roots (trigonometric method)
- Δ = 0: repeated roots (double root + simple root)
- Δ < 0: one real root + two complex conjugate roots (Cardano's formula)
Mengapa menggunakan penyelesai persamaan kubik kami?
- Penyelesaian persamaan kubik instan: selesaikan persamaan kubik apa pun ax³ + bx² + cx + d = 0 seketika di browser Anda. Penyelesai kami menerapkan metode Cardano dan metode trigonometri untuk menemukan ketiga akar - nyata atau kompleks - dalam milidetik.
- Penyelesai persamaan kubik online yang aman: semua perhitungan persamaan kubik terjadi secara lokal di browser Anda. Koefisien dan hasil Anda tidak pernah meninggalkan perangkat Anda, menjamin privasi 100% saat Anda menyelesaikan persamaan kubik online.
- Penyelesai persamaan kubik online tanpa instalasi: gunakan penyelesai kami langsung di browser mana pun, tanpa unduhan, plugin, atau perangkat lunak. Selesaikan persamaan kubik dari perangkat apa pun - desktop, tablet, atau ponsel - seketika.
- Rincian lengkap metode Cardano: dapatkan ketiga akar (nyata atau kompleks), koefisien persamaan kubik tereduksi, diskriminan, verifikasi rumus Vieta, dan solusi lengkap langkah demi langkah dengan metode Cardano - semuanya di satu tempat.
Kasus penggunaan umum penyelesai persamaan kubik
- Tugas aljabar dan kalkulus: siswa yang menyelesaikan persamaan kubik dalam kursus aljabar, pra-kalkulus, dan kalkulus menggunakan penyelesai kami untuk memeriksa jawaban dan memahami metode Cardano langkah demi langkah. Rincian lengkapnya memudahkan mengikuti penurunannya.
- Masalah fisika dan teknik: persamaan kubik muncul dalam mekanika (keseimbangan gaya), termodinamika (persamaan keadaan van der Waals), dan teknik struktur (defleksi balok). Penyelesai kami menangani ketiga kasus akar dengan akurat.
- Sistem kendali dan pemrosesan sinyal: insinyur kendali menemukan kutub fungsi alih orde ketiga dengan menyelesaikan persamaan karakteristik kubik. Gunakan penyelesai kami untuk menemukan ketiga kutub - nyata atau kompleks - dan menentukan kestabilan sistem.
- Optimisasi dan ekonomi: fungsi kubik biaya, pendapatan, dan laba dalam ekonomi dan riset operasi memerlukan pencarian titik kritis dengan menyelesaikan persamaan turunan kubik. Penyelesai kami menangani koefisien desimal dan negatif dengan presisi penuh.
- Grafika komputer dan geometri: kurva Bezier kubik, perpotongan sinar-bola, dan perhitungan spline dalam grafika komputer memerlukan penyelesaian persamaan kubik. Penyelesai kami menyediakan akar analitis yang diperlukan untuk perhitungan geometris yang tepat.
- Teori bilangan dan matematika murni: matematikawan yang mempelajari teori bilangan aljabar, teori Galois, dan akar polinomial menggunakan persamaan kubik sebagai contoh mendasar. Penyelesai kami menunjukkan penurunan lengkap metode Cardano termasuk substitusi persamaan kubik tereduksi.
Apa itu persamaan kubik?
Persamaan kubik adalah persamaan polinomial berderajat 3 dalam bentuk ax³ + bx² + cx + d = 0, dengan a ≠ 0. Setiap persamaan kubik dengan koefisien nyata memiliki tepat tiga akar (menghitung multiplisitas) dalam bilangan kompleks - dijamin oleh teorema dasar aljabar. Akar-akar tersebut berupa tiga bilangan nyata, atau satu bilangan nyata dan dua kompleks konjugat. Berbeda dengan persamaan kuadrat, persamaan kubik selalu memiliki setidaknya satu akar nyata. Penyelesai persamaan kubik kami menemukan ketiga akar secara analitis menggunakan metode Cardano (diterbitkan oleh Gerolamo Cardano pada 1545) dan metode trigonometri untuk kasus tiga akar nyata.
Catatan sejarah: metode Cardano: Metode Cardano diterbitkan dalam Ars Magna (1545) oleh Gerolamo Cardano, meskipun penemuan aslinya diatributkan kepada Scipione del Ferro dan Niccolo Tartaglia. Ini adalah solusi aljabar umum pertama untuk persamaan polinomial berderajat lebih dari 2. Metode ini memperkenalkan substitusi x = t - b/(3a) untuk menghilangkan suku kuadrat, lalu menggunakan identitas (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v) untuk mereduksi persamaan kubik tereduksi menjadi persamaan kuadrat dalam u³. Kasus tiga akar nyata (casus irreducibilis) memerlukan nilai antara yang kompleks meskipun semua akarnya nyata - itulah sebabnya metode trigonometri lebih disukai untuk kasus ini.
Cara kerja penyelesai persamaan kubik kami
- 1. Masukkan koefisien Anda: ketik empat koefisien a, b, c, d untuk ax³ + bx² + cx + d = 0. Semua pemrosesan terjadi secara lokal di browser Anda - data Anda tidak pernah meninggalkan perangkat Anda.
- 2. Substitusi ke persamaan kubik tereduksi: penyelesai menerapkan substitusi Tschirnhaus-Vieta x = t - b/(3a) untuk menghilangkan suku x², mereduksi persamaan menjadi persamaan kubik tereduksi t³ + pt + q = 0.
- 3. Diskriminan dan jenis akar: diskriminan Δ = -4p³ - 27q² menentukan sifat akar. Δ > 0 menghasilkan tiga akar nyata berbeda (diselesaikan dengan metode trigonometri). Δ = 0 menghasilkan akar berulang. Δ < 0 menghasilkan satu akar nyata dan dua kompleks konjugat (diselesaikan dengan rumus Cardano).
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Penyelesai persamaan kubik menemukan ketiga akar dari persamaan apa pun dalam bentuk ax³ + bx² + cx + d = 0. Penyelesai kami menerapkan metode Cardano dan metode trigonometri untuk menghitung akar nyata dan kompleks secara analitis, dengan rincian lengkap langkah demi langkah - semuanya berjalan seketika di browser Anda dan tanpa pendaftaran.
Setiap persamaan kubik dengan koefisien nyata memiliki tepat tiga akar dalam bilangan kompleks (menghitung multiplisitas), dijamin oleh teorema dasar aljabar. Akar-akar tersebut berupa tiga akar nyata, atau satu akar nyata dan dua akar kompleks konjugat. Berbeda dengan persamaan kuadrat, persamaan kubik selalu memiliki setidaknya satu akar nyata.
Metode Cardano adalah teknik analitis untuk menyelesaikan persamaan kubik, yang diterbitkan oleh Gerolamo Cardano pada tahun 1545. Metode ini bekerja dengan mensubstitusi x = t - b/(3a) untuk menghilangkan suku x² (menghasilkan persamaan kubik tereduksi t³ + pt + q = 0), lalu menggunakan diskriminan Δ = -4p³ - 27q² untuk menentukan jenis akar dan menerapkan rumus yang sesuai.
Untuk persamaan kubik tereduksi t³ + pt + q = 0, diskriminan Δ = -4p³ - 27q² menentukan sifat akar. Jika Δ > 0, ada tiga akar nyata yang berbeda. Jika Δ = 0, ada akar berulang. Jika Δ < 0, ada satu akar nyata dan dua akar kompleks konjugat.
Metode trigonometri digunakan ketika Δ > 0 - kasus tiga akar nyata berbeda. Rumus Cardano akan memerlukan akar kubik dari bilangan kompleks dalam kasus ini. Metode trigonometri menggunakan substitusi t = m·cos(θ) untuk menyatakan ketiga akar dengan rapi menggunakan kosinus.
Bisa. Ketika Δ < 0, penyelesai persamaan kubik menghitung satu akar nyata dan dua akar kompleks konjugat menggunakan rumus Cardano. Akar kompleks ditampilkan dalam bentuk standar a + bi dengan tombol salin.
Jika a = 0, persamaan tersebut bukan kubik - persamaan menjadi kuadrat atau derajat lebih rendah. Penyelesai menampilkan kesalahan yang meminta Anda memasukkan nilai bukan nol untuk a. Untuk persamaan kuadrat, gunakan Penyelesai Persamaan Kuadrat kami.
Ya, sepenuhnya. Semua perhitungan terjadi secara lokal di browser Anda menggunakan JavaScript. Koefisien dan hasil Anda tidak pernah dikirim ke server mana pun. Data Anda tidak pernah meninggalkan perangkat Anda, menjamin privasi 100% saat Anda menyelesaikan persamaan kubik online.
Ya. Penyelesai persamaan kubik kami 100% gratis tanpa pendaftaran, tanpa akun, dan tanpa batas penggunaan. Selesaikan sebanyak apa pun persamaan kubik yang Anda butuhkan - dengan langkah lengkap metode Cardano - tanpa biaya, selamanya.