Kalkulator Bilangan Kompleks
Selesaikan operasi pada bilangan kompleks secara instan. Masukkan komponen nyata dan imajiner dalam bentuk persegi panjang untuk menghitung jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi. Tentukan modulus, argumen, konjugat, timbal balik, dan gunakan teorema De Moivre untuk mengevaluasi eksponen dan akar. Termasuk rincian langkah demi langkah dan diagram bidang SVG Argand interaktif.
Perform arithmetic operations, calculate modulus and argument, and visualize complex numbers on the Argand plane.
Calculation result (z₁ + z₂)
4 + 2i
Mengapa Menggunakan Kalkulator Bilangan Kompleks Kami?
- Operasi Komprehensif: Menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi bilangan kompleks, atau menghitung pangkat dan akar menggunakan teorema De Moivre.
- Diagram Argand Interaktif: Visualisasikan bilangan kompleks masukan dan keluaran sebagai vektor pada sistem koordinat bidang kompleks 2D yang diskalakan otomatis.
- Format Polar & Eksponensial: Secara instan mengubah koordinat bentuk persegi panjang menjadi bentuk kutub dan format eksponensial Euler dengan skala sudut derajat/radian.
- Penjelasan Langkah demi Langkah: Tinjau persamaan matematika terperinci yang menunjukkan bagaimana komponen dikelompokkan, dikonjugasikan, dan diselesaikan di setiap langkah.
- 100% Privasi Sisi Klien: Semua penghitungan, plot, dan rumus diproses seluruhnya di browser web Anda. Tidak ada data aritmatika yang pernah dikirimkan secara online.
- Cheatsheet Preset Cepat: Muat contoh penghitungan dengan satu klik untuk memahami perkalian, pembagian konjugasi, dan geometri multi-akar.
Siapa yang Menggunakan Kalkulator Bilangan Kompleks Ini?
- Pemeriksaan Siswa & Pekerjaan Rumah: Verifikasi solusi untuk aljabar kompleks, praktikkan konjugat, dan pelajari sudut multi-akar De Moivre untuk kelas.
- Teknik Elektro & Sirkuit AC: Menghitung tegangan AC, fasa arus, impedansi listrik (R + jX), dan mengkonversi antara format persegi panjang dan polar.
- Mekanika & Fisika Kuantum: Evaluasi operasi vektor keadaan, amplitudo probabilitas, dan fungsi gelombang menggunakan matriks dan angka kompleks.
- Sistem Kontrol & Pemrosesan Sinyal: Menentukan kutub dan nol, memetakan fungsi transfer, dan mengubah transformasi Fourier/Laplace menjadi koordinat grafis.
- Persiapan Tutor & Kelas: Buat contoh solusi aljabar langkah demi langkah dan plot vektor Argand visual untuk disajikan dalam perkuliahan.
- Penelitian Ilmiah & Akademis: Periksa kembali solusi dan koordinat yang kompleks sebelum merencanakan angka akhir yang siap dipublikasikan.
Apa itu Bilangan Kompleks?
Bilangan kompleks adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah satuan imajiner, yang didefinisikan oleh persamaan i² = -1. Bilangan a disebut bagian real dan b disebut bagian imajiner.
Representasi Geometris: Bidang Argand
Sama seperti bilangan real yang dapat direpresentasikan sebagai titik pada garis bilangan satu dimensi, bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai titik atau vektor dalam sistem koordinat dua dimensi yang disebut bidang kompleks atau diagram Argand. Sumbu horizontal melambangkan komponen nyata, dan sumbu vertikal melambangkan komponen imajiner. Misalnya bilangan kompleks 3 + 4i diplot sebagai titik (3, 4).
Bentuk Polar dan Eksponensial
Selain koordinat persegi panjang (a + bi), bilangan kompleks juga dapat dijelaskan menggunakan koordinat kutub:
Ini memberikan representasi kutub: z = r(cos θ + i sin θ). Dengan menerapkan rumus Euler (e^(iθ) = cos θ + i sin θ), kita mendapatkan bentuk eksponensial: z = re^(iθ).
- Modulus (r): Jarak dari titik asal ke titik, dihitung sebagai r = √(a² + b²).
- Argumen (θ): Sudut yang dibentuk dengan sumbu nyata positif, dihitung sebagai θ = atan2(b, a).
Teorema De Moivre untuk Pangkat & Akar
Teorema De Moivre menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan real x dan bilangan bulat n:
Rumus ini memudahkan penghitungan pangkat tinggi dan akar pecahan bilangan kompleks. Suatu bilangan kompleks mempunyai tepat n akar ke-n yang berbeda, berjarak simetris pada sudut (θ + 2kπ)/n untuk k = 0, 1,..., n-1.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Satuan imajiner i didefinisikan sebagai akar kuadrat dari -1, artinya i² = -1. Digunakan untuk menyelesaikan persamaan aljabar yang tidak memiliki solusi nyata, seperti x² + 1 = 0. Memperkenalkan bilangan imajiner memungkinkan semua persamaan polinomial difaktorkan secara lengkap.
Untuk mengubah bilangan kompleks a + bi ke bentuk polar r(cos θ + i sin θ), cari dulu modulus r = √(a² + b²). Kemudian cari argumen (sudut) θ = atan2(b, a). Dalam format kutub, r mewakili jarak dan θ mewakili sudut arah.
Untuk membagi dua bilangan kompleks z₁ / z₂, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugat kompleks penyebutnya. Proses ini (disebut rasionalisasi penyebut) mengubah penyebut menjadi bilangan real sehingga Anda dapat membagi hasilnya menjadi bagian nyata dan bagian imajiner.
Teorema De Moivre menyatakan bahwa untuk bilangan kompleks apa pun yang berbentuk polar, zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)). Ini memungkinkan Anda menghitung pangkat dan akar bilangan kompleks tanpa melakukan ekspansi binomial yang panjang dan berulang.
Konjugat kompleks dari z = a + bi adalah z̅ = a - bi. Anda menemukannya dengan membalik tanda komponen imajiner. Secara geometris, ini mewakili refleksi vektor bilangan kompleks melintasi sumbu nyata horizontal.
Tidak. Penghitungan bilangan kompleks dan plot Argand SVG dijalankan sepenuhnya di browser web Anda menggunakan JavaScript sisi klien. Tidak ada koordinat atau persamaan matematika Anda yang dikirim ke server kami, sehingga memastikan pekerjaan Anda tetap bersifat pribadi.