Vektor-Rechner
Analysieren und visualisieren Sie 2D- und 3D-Vektoren sofort. Geben Sie die Koordinaten der Vektoren u und v ein, um Summe, Differenz, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Beträge, Einheitsvektoren, Projektion und den Winkel zwischen ihnen zu berechnen. Prüfen Sie alle Rechenschritte neben einem interaktiven Koordinatendiagramm mit Perspektivdrehung. Alle Berechnungen erfolgen zu 100 % lokal in Ihrem Browser.
Input coordinates in standard format, select dimension mode, and view computed linear algebra parameters. Hover or click result items to review steps.
Quick Presets
Vector u Input
Vector v Input
Vector Space Graph
Vectors represented: u, v, and resultant dashed. Graph scales dynamically.
Calculated Properties & Equations
Magnitudes (Lengths)
√(3² + 4² )
√(1² + 2² )
Dot Product (Scalar)
u · v = uxvx + uyvy + uzvz
= (3)·(1) + (4)·(2)
= 3 + 8
Angle Between Vectors
cos(θ) = (u · v) / (||u|| * ||v||)
= 11 / (5 * 2.2361)
= 0.9839
Sum & Difference
(3 + 1, 4 + 2)
(3 - 1, 4 - 2)
Scalar Multiplications (c = 2)
(2 × 3, 2 × 4)
(2 × 1, 2 × 2)
Cross Product (Vector)
uxvy - uyvx = (3)(2) - (4)(1)
Unit Vectors (Directional)
u / ||u|| = (3/5, 4/5)
v / ||v|| = (1/2.2361, 2/2.2361)
Orthogonal Projections
((u · v) / ||v||²) · v = (2.2) · v
((u · v) / ||u||²) · u = (0.44) · u
Warum unseren Vektor-Rechner verwenden?
- Sofortige 2D- und 3D-Berechnung: Führen Sie komplexe Vektoraddition, -subtraktion, Skalarprodukte, Kreuzprodukte, Winkel und Projektionen in Echtzeit durch. Der Vektor-Rechner verarbeitet Ihre Eingaben sofort in Ihrem Browser, ohne Verzögerung.
- Sicherer Vektor-Rechner online: Der Vektor-Rechner läuft vollständig clientseitig auf Ihrem lokalen Gerät. Ihre Koordinaten und mathematischen Ausdrücke werden nie an einen Server gesendet, was vollständige Sicherheit und Privatsphäre garantiert.
- Vektordiagramme und Visualisierungen: Stellen Sie die Vektoren u und v samt ihren Resultierenden dynamisch dar. Wechseln Sie zwischen einem 2D-Koordinatengitter und einer 3D-Perspektivprojektion mit einstellbaren Drehwinkel-Reglern für die Tiefenwahrnehmung.
- Detaillierte Schritt-für-Schritt-Logik: Lernen Sie Konzepte der linearen Algebra mit ausführlichen Schritt-für-Schritt-Erklärungen. Unser Tool zeigt die Formeln, die Zwischenschritte der Koordinatenmultiplikation und die abschließenden Additionen für jede Operation.
Typische Anwendungsfälle für den Vektor-Rechner
- Aufgaben in linearer Algebra: Studierende nutzen den Vektor-Rechner, um handschriftlich gelöste Aufgaben aus linearer Algebra, Analysis und mehrdimensionaler Mathematik zu prüfen. Kontrollieren Sie Skalar- und Kreuzprodukte, Beträge und Winkel sofort.
- Mechanik und Dynamik in der Physik: Ingenieure und Physikstudierende modellieren Kräfte, Geschwindigkeitsvektoren und Drehmomente. Berechnen Sie resultierende Kräfte durch Addition von 2D/3D-Komponentenvektoren und senkrechte Drehmomentvektoren mit dem Kreuzprodukt.
- 3D-Spieleentwicklung und Rendering: Entwickler berechnen Kamerarichtungen, Beleuchtungswinkel und Oberflächennormalen. Der Vektor-Rechner hilft, Berechnungen von Skalarprodukten (bei Backface-Culling und diffuser Beleuchtung) und Kreuzprodukten zu überprüfen.
- Algorithmen der Computergrafik: Nutzen Sie den Vektor-Rechner, um Transformationen der analytischen Geometrie zu untersuchen. Bestimmen Sie Projektionsvektoren, um Koordinaten auf beliebige Ebenen zu projizieren, und lösen Sie Winkel, um reflektierte Strahlen zu berechnen.
- Navigation und Flugplanung: Berücksichtigen Sie Windkorrekturwinkel und Flugrouten. Modellieren Sie Fahrt- und Windvektoren, um Ground Speed und rechtweisenden Kurs mithilfe von Vektoraddition und Winkeltrigonometrie zu berechnen.
- Nachschlagewerk zur analytischen Geometrie: Prüfen Sie geometrische Eigenschaften wie Parallelität, Rechtwinkligkeit und Kollinearität. Kontrollieren Sie, ob der Winkel 0, 90 oder 180 Grad beträgt oder das Skalarprodukt null ist.
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt mit Betrag (Länge) und Richtung. In der analytischen Geometrie wird ein Vektor durch seine Komponenten entlang der Koordinatenachsen dargestellt: u = (u x , u y ) in 2D und u = (u x , u y , u z ) in 3D. Vektoren sind grundlegend in Physik und Informatik, um Geschwindigkeit, Kräfte, Beschleunigung und räumliche Ausrichtung darzustellen. Unser Vektor-Rechner hilft Ihnen, Koordinatenberechnungen sofort durchzuführen und zu visualisieren.
So funktioniert unser Vektor-Rechner
- Dimension wählen und Koordinaten eingeben: Wählen Sie zwischen 2D- und 3D-Vektormodus. Geben Sie ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche (etwa 1/2 oder -3/4 ) in die Felder für Vektor u und Vektor v ein.
- Berechnete Ergebnisse prüfen: Der Vektor-Rechner ermittelt Summen, Differenzen, Beträge, Skalarprodukte, Kreuzprodukte, Winkel und Projektionen in Echtzeit in Ihrem Browser.
- Visualisieren und Schritte nachvollziehen: Sehen Sie die Koordinaten als gerichtete Pfeile in einem responsiven Gitter (2D-kartesische Ebene oder 3D-Perspektivdarstellung) und prüfen Sie die ausführlichen Rechenschritte zu jedem Ergebnis.
Grundlegende Vektoroperationen und Formeln
Unser Tool verarbeitet die folgenden Vektoroperationen mit standardmäßigen algebraischen Formeln:
- Vektoraddition: Addition der entsprechenden Komponenten: (u x + v x , u y + v y , u z + v z ).
- Skalarprodukt: eine Skalaroperation, die die Koordinatenmultiplikation darstellt: u · v = u x v x + u y v y + u z v z .
- Kreuzprodukt (nur 3D): erzeugt einen Vektor, der zu beiden Eingaben orthogonal ist: u × v = (u y v z - u z v y , u z v x - u x v z , u x v y - u y v x ).
- Vektorbetrag: der kartesische Abstand bzw. die Länge des Vektors: ||u|| = √(u x ² + u y ² + u z ²).
- Vektorprojektion: der orthogonale Schatten des Vektors u auf den Vektor v: proj v u = ((u · v) / ||v||²) · v.
- Winkel zwischen Vektoren: abgeleitet aus der Skalarprodukt-Beziehung: cos(θ) = (u · v) / (||u|| · ||v||), was θ = arccos(cos(θ)) ergibt.
Häufig gestellte Fragen
Ein Vektor-Rechner ist ein Werkzeug, das mathematische Operationen mit zwei- oder dreidimensionalen Vektoren berechnet. Er nimmt die Koordinaten der Vektoren u und v und berechnet Summe, Differenz, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Beträge, Einheitsvektoren, Projektion und den Winkel zwischen ihnen. Unser Vektor-Rechner läuft vollständig in Ihrem Browser und erfordert keine Anmeldung.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren u und v wird berechnet, indem die entsprechenden Komponenten multipliziert und die Ergebnisse addiert werden: u · v = ux*vx + uy*vy + uz*vz. Es ist ein Skalarwert, der das Produkt ihrer Beträge und den Kosinus des Winkels zwischen ihnen darstellt. Ist das Skalarprodukt null, sind die Vektoren orthogonal (senkrecht).
Das Kreuzprodukt ist eine Vektoroperation, die einen dritten Vektor senkrecht zu beiden Eingabevektoren erzeugt. Es ist speziell im dreidimensionalen Raum definiert, weil es eine dritte Dimension benötigt, um die senkrechte Ausgabe darzustellen. Bei zwei 2D-Vektoren lässt sich der Betrag des Kreuzprodukts berechnen, der der z-Komponente ihrer 3D-Äquivalente entspricht.
Die Projektion des Vektors u auf den Vektor v (bezeichnet als proj_v u) ist die orthogonale Projektion von u auf die von v aufgespannte Gerade. Die Formel lautet: proj_v u = ((u · v) / ||v||²) * v. Das Ergebnis ist ein Vektor in Richtung von v (oder entgegengesetzt, wenn das Skalarprodukt negativ ist), dessen Betrag der Komponente von u entlang v entspricht.
Ja. Unser Vektor-Rechner unterstützt ganze Zahlen, Dezimalzahlen (z. B. 2,5) und Bruchformate (z. B. 1/2 oder -3/4) für alle Koordinaten. Der Rechner wandelt Brüche automatisch in numerische Werte um, damit die Berechnungen exakt und die Rechenschritte übersichtlich bleiben.
Ja. Der Vektor-Rechner arbeitet vollständig clientseitig in Ihrem Browser. Alle Koordinateneingaben, mathematischen Operationen und Diagrammdarstellungen werden auf Ihrem lokalen Gerät berechnet. Es werden keine Daten an unsere Server gesendet, was 100 % Datenschutz und Sicherheit gewährleistet.