Primzahlprüfer

• Sofortige Primzahlprüfung: Geben Sie eine beliebige ganze Zahl bis 10³⁰ ein und erfahren Sie sofort, ob sie prim ist. Der Primzahlprüfer verwendet Probedivision für kleine Zahlen und den deterministischen Miller-Rabin-Test für große Zahlen - und liefert Ihnen in Millisekunden eine mathematisch sichere Antwort.
• Sicherer Online-Primzahlprüfer: Der Primzahlprüfer läuft vollständig clientseitig in Ihrem Browser. Ihre Eingabewerte werden niemals an einen Server gesendet, gespeichert oder verfolgt - vollständige Privatsphäre für kryptografische, akademische und Forschungszwecke.
• Primzahlprüfer - Keine Installation: Verwenden Sie den Primzahlprüfer direkt in jedem modernen Browser ohne Downloads, Apps oder Plug-ins. Laden Sie berühmte Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen mit einem Klick, prüfen Sie die nächsten 5 Primzahlen und navigieren Sie zwischen Primzahlen - 100 % kostenlos für immer.
• Schritt-für-Schritt-Beweis und nächste Primzahlen: Der Primzahlprüfer zeigt die vollständigen Probedivisionsschritte für kleine Zahlen - jeden getesteten Teiler mit seinem Rest - sodass Sie den Beweis nachvollziehen können. Er zeigt außerdem die vorherige Primzahl, die nächste Primzahl, die Primzahllücke und die nächsten 5 Primzahlen nach Ihrer Zahl.

• Kryptografie und Sicherheit: Kryptografen benötigen große Primzahlen für die RSA-Schlüsselgenerierung, den Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch und die Elliptische-Kurven-Kryptografie. Nutzen Sie den Primzahlprüfer, um zu überprüfen, dass Kandidatenprimzahlen wirklich prim sind, bevor Sie sie in kryptografischen Protokollen verwenden.
• Mathematikunterricht: Studierende, die Zahlentheorie lernen, nutzen den Primzahlprüfer, um die Primzahlverteilung zu erkunden, Hausaufgabenantworten zu prüfen und den Probedivisionsalgorithmus zu verstehen. Der Schritt-für-Schritt-Beweis macht ihn zu einem idealen Lehrmittel für Primzahltests.
• Programmierung und Algorithmusentwicklung: Entwickler, die Primzahlsiebe, Hash-Funktionen und zahlentheoretische Algorithmen implementieren, nutzen den Primzahlprüfer, um ihre Implementierungen zu validieren. Prüfen Sie Sonderfälle wie 1, 2, große Mersenne-Primzahlen und Carmichael-Zahlen sofort.
• Wettbewerbsprogrammierung: Wettbewerbsprogrammierer überprüfen Primzahlen während der Lösung von Wettbewerbsaufgaben. Der Primzahlprüfer verarbeitet Zahlen bis 10³⁰ - weit über das hinaus, was die meisten Wettbewerbsaufgaben erfordern - und zeigt die nächsten Primzahlen für Primzahllücken-Aufgaben.
• Forschung in der Zahlentheorie: Mathematiker, die Primzahllücken, Primzahlzwillinge und Primzahlverteilungen untersuchen, nutzen den Primzahlprüfer, um schnell die Primzahleigenschaft zu überprüfen und benachbarte Primzahlen zu finden. Die Funktion „nächste 5 Primzahlen“ erleichtert die Erkundung von Primzahlfolgen.
• Rekreative Mathematik und Rätsel: Mathe-Enthusiasten, die prüfen, ob interessante Zahlen (wie 1729, die Hardy-Ramanujan-Zahl, oder 561, die erste Carmichael-Zahl) prim sind, nutzen den Primzahlprüfer für eine sofortige Überprüfung mit klarer Erklärung.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die außer 1 und sich selbst keine positiven Teiler hat. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... Die Zahl 1 ist per Definition nicht prim. Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl - alle anderen geraden Zahlen sind durch 2 teilbar und daher zusammengesetzt. Eine zusammengesetzte Zahl ist jede ganze Zahl größer als 1, die nicht prim ist - sie hat mindestens einen Faktor außer 1 und sich selbst. Unser Primzahlprüfer stellt fest, ob eine ganze Zahl prim oder zusammengesetzt ist, und zeigt den mathematischen Beweis, wobei er Probedivision für kleine Zahlen und den Miller-Rabin-Algorithmus für große Zahlen verwendet.

1. Geben Sie Ihre Zahl ein: Tippen Sie eine beliebige ganze Zahl in den Primzahlprüfer. Zahlen bis 10³⁰ werden unterstützt. Kommas und Unterstriche werden ignoriert, Sie können also 2.147.483.647 oder 2_147_483_647 eingeben. Klicken Sie auf eine Preset-Schaltfläche, um sofort eine berühmte Primzahl oder zusammengesetzte Zahl zu laden.
2. Primzahltest: Klicken Sie auf „Prim prüfen“, und der Primzahlprüfer wählt automatisch den besten Algorithmus. Für Zahlen bis 10¹⁵ verwendet er Probedivision - Test von Teilern der Form 6k±1 bis √n - und zeigt jeden Schritt. Für größere Zahlen verwendet er den deterministischen Miller-Rabin-Test mit 12 Zeugen, der für alle n < 3,3 × 10²⁴ als korrekt bewiesen ist.
3. Ergebnisse ansehen: Der Primzahlprüfer zeigt das Urteil (PRIM oder NICHT PRIM), den kleinsten Faktor falls zusammengesetzt, die vorherige und nächste Primzahl mit ihren Primzahllücken, die nächsten 5 Primzahlen nach Ihrer Zahl und den vollständigen Schritt-für-Schritt-Beweis - alles lokal in Ihrem Browser verarbeitet.

• Probedivision: Testet, ob n durch eine ganze Zahl von 2 bis √n teilbar ist. Es müssen nur Teiler der Form 6k±1 geprüft werden (nach separater Behandlung von 2 und 3), was den Aufwand um den Faktor 3 reduziert. Exakt und zeigt jeden Schritt, aber langsam für sehr große Zahlen.
• Miller-Rabin-Primzahltest: Ein probabilistischer Test, der mit sorgfältig gewählten Zeugen deterministisch wird. Mit den 12 Zeugen, die unser Primzahlprüfer verwendet (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37), ist der Test für alle n < 3.317.044.064.679.887.385.961.981 deterministisch.
• Carmichael-Zahlen: Zahlen wie 561 = 3 × 11 × 17 bestehen einige Primzahltests, sind aber zusammengesetzt. Der Miller-Rabin-Test mit mehreren Zeugen identifiziert alle Carmichael-Zahlen korrekt als zusammengesetzt.
• Mersenne-Primzahlen: Primzahlen der Form 2ⁿ − 1, wie 2³¹ − 1 = 2.147.483.647. Diese gehören zu den größten bekannten Primzahlen. Der Primzahlprüfer identifiziert sie mithilfe von Miller-Rabin korrekt.

Eine Primzahllücke ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen. Die Lücke nach 2 ist 1 (bis 3), nach 3 ist 2 (bis 5), und die Lücken wachsen im Allgemeinen, je größer die Zahlen werden - allerdings unregelmäßig. Der Primzahlprüfer zeigt die Lücke sowohl zur vorherigen als auch zur nächsten Primzahl. Die größten bekannten Primzahllücken werden in der Zahlentheorie untersucht, um die Verteilung der Primzahlen zu verstehen. Nach dem Primzahlsatz beträgt die durchschnittliche Lücke nahe n etwa ln(n).