Kubische-Gleichung-Rechner
Losen Sie jede kubische Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 online kostenlos. Unser Kubische-Gleichung-Rechner wendet Cardanos Methode und die trigonometrische Methode an, um alle drei Wurzeln zu finden - reell oder komplex - mit Diskriminante, Koeffizienten der reduzierten kubischen Gleichung, Verifikation durch Vietas Formeln und einer vollstandigen Schritt-fur-Schritt-Losung. Alle Berechnungen laufen lokal in Ihrem Browser. Ohne Anmeldung.
Enter the four coefficients a, b, c, d for the equation ax³ + bx² + cx + d = 0. The cubic equation solver applies Cardano's method and the trigonometric method to find all three roots - real or complex - with a full step-by-step breakdown. All calculations run locally in your browser.
Cannot be 0
- Substitute x = t − b/(3a) to eliminate the x² term → depressed cubic t³ + pt + q = 0
- Compute discriminant Δ = −4p³ − 27q²
- Δ > 0: three distinct real roots (trigonometric method)
- Δ = 0: repeated roots (double root + simple root)
- Δ < 0: one real root + two complex conjugate roots (Cardano's formula)
Warum unseren Kubische-Gleichung-Rechner verwenden?
- Sofortiges Losen kubischer Gleichungen: Losen Sie jede kubische Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 sofort in Ihrem Browser. Unser Rechner wendet Cardanos Methode und die trigonometrische Methode an, um alle drei Wurzeln - reell oder komplex - in Millisekunden zu finden.
- Sicherer Kubische-Gleichung-Rechner online: Alle Berechnungen der kubischen Gleichung erfolgen lokal in Ihrem Browser. Ihre Koeffizienten und Ergebnisse verlassen nie Ihr Gerat und gewahrleisten 100 % Privatsphare, wenn Sie kubische Gleichungen online losen.
- Kubische-Gleichung-Rechner online ohne Installation: Nutzen Sie unseren Rechner direkt in jedem Browser, ohne Downloads, Plugins oder Software. Losen Sie kubische Gleichungen von jedem Gerat - Desktop, Tablet oder Smartphone - sofort.
- Vollstandige Aufschlusselung nach Cardanos Methode: Erhalten Sie alle drei Wurzeln (reell oder komplex), die Koeffizienten der reduzierten kubischen Gleichung, die Diskriminante, die Verifikation durch Vietas Formeln und eine vollstandige Schritt-fur-Schritt-Losung nach Cardanos Methode - alles an einem Ort.
Typische Anwendungsfalle des Kubische-Gleichung-Rechners
- Algebra- und Analysisaufgaben: Studierende, die in Kursen zu Algebra, Vorkalkul und Analysis kubische Gleichungen losen, nutzen unseren Rechner, um Ergebnisse zu prufen und Cardanos Methode Schritt fur Schritt zu verstehen. Die vollstandige Aufschlusselung erleichtert das Nachvollziehen der Herleitung.
- Probleme in Physik und Technik: Kubische Gleichungen treten in der Mechanik (Kraftegleichgewicht), der Thermodynamik (van-der-Waals-Zustandsgleichung) und im konstruktiven Ingenieurbau (Balkendurchbiegung) auf. Unser Rechner behandelt alle drei Wurzelfalle genau.
- Regelungstechnik und Signalverarbeitung: Regelungstechniker ermitteln die Pole von Ubertragungsfunktionen dritter Ordnung durch das Losen kubischer charakteristischer Gleichungen. Nutzen Sie unseren Rechner, um alle drei Pole - reell oder komplex - zu finden und die Systemstabilitat zu bestimmen.
- Optimierung und Wirtschaft: Kubische Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktionen in Wirtschaft und Operations Research erfordern das Finden kritischer Punkte durch Losen kubischer Ableitungsgleichungen. Unser Rechner verarbeitet Dezimal- und negative Koeffizienten mit voller Genauigkeit.
- Computergrafik und Geometrie: Kubische Bezier-Kurven, Strahl-Kugel-Schnittpunkte und Spline-Berechnungen in der Computergrafik erfordern das Losen kubischer Gleichungen. Unser Rechner liefert die analytischen Wurzeln, die fur exakte geometrische Berechnungen notig sind.
- Zahlentheorie und reine Mathematik: Mathematiker, die algebraische Zahlentheorie, Galois-Theorie und Polynomwurzeln untersuchen, verwenden kubische Gleichungen als grundlegende Beispiele. Unser Rechner zeigt die vollstandige Herleitung nach Cardanos Methode einschliesslich der Substitution zur reduzierten kubischen Gleichung.
Was ist eine kubische Gleichung?
Eine kubische Gleichung ist eine Polynomgleichung dritten Grades der Form ax³ + bx² + cx + d = 0, wobei a ≠ 0. Jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat genau drei Wurzeln (mit Vielfachheit gezahlt) in den komplexen Zahlen - garantiert durch den Fundamentalsatz der Algebra. Diese Wurzeln sind entweder drei reelle Zahlen oder eine reelle Zahl und zwei komplex konjugierte Zahlen. Anders als bei quadratischen Gleichungen haben kubische Gleichungen immer mindestens eine reelle Wurzel. Unser Kubische-Gleichung-Rechner findet alle drei Wurzeln analytisch mithilfe von Cardanos Methode (veroffentlicht von Gerolamo Cardano im Jahr 1545) und der trigonometrischen Methode fur den Fall dreier reeller Wurzeln.
Historischer Hinweis: Cardanos Methode: Cardanos Methode wurde in Ars Magna (1545) von Gerolamo Cardano veroffentlicht, wobei die ursprungliche Entdeckung Scipione del Ferro und Niccolo Tartaglia zugeschrieben wird. Sie war die erste allgemeine algebraische Losung einer Polynomgleichung hoher als zweiten Grades. Die Methode fuhrt die Substitution x = t - b/(3a) ein, um den quadratischen Term zu eliminieren, und nutzt dann die Identitat (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v), um die reduzierte kubische Gleichung auf eine quadratische Gleichung in u³ zu reduzieren. Der Fall dreier reeller Wurzeln (casus irreducibilis) erfordert komplexe Zwischenwerte, selbst wenn alle Wurzeln reell sind - weshalb die trigonometrische Methode in diesem Fall bevorzugt wird.
So funktioniert unser Kubische-Gleichung-Rechner
- 1. Koeffizienten eingeben: Geben Sie die vier Koeffizienten a, b, c, d fur ax³ + bx² + cx + d = 0 ein. Die gesamte Verarbeitung erfolgt lokal in Ihrem Browser - Ihre Daten verlassen nie Ihr Gerat.
- 2. Substitution zur reduzierten kubischen Gleichung: Der Rechner wendet die Tschirnhaus-Vieta-Substitution x = t - b/(3a) an, um den x²-Term zu eliminieren und die Gleichung auf die reduzierte kubische Gleichung t³ + pt + q = 0 zuruckzufuhren.
- 3. Diskriminante und Wurzeltyp: Die Diskriminante Δ = -4p³ - 27q² bestimmt die Wurzelart. Δ > 0 ergibt drei verschiedene reelle Wurzeln (gelost mit der trigonometrischen Methode). Δ = 0 ergibt mehrfache Wurzeln. Δ < 0 ergibt eine reelle Wurzel und zwei komplex konjugierte (gelost mit Cardanos Formel).
Häufig gestellte Fragen
Ein Kubische-Gleichung-Rechner findet alle drei Wurzeln jeder Gleichung der Form ax³ + bx² + cx + d = 0. Unser Rechner wendet Cardanos Methode und die trigonometrische Methode an, um reelle und komplexe Wurzeln analytisch zu berechnen, mit einer vollstandigen Schritt-fur-Schritt-Aufschlusselung - alles sofort in Ihrem Browser und ohne Anmeldung.
Jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat genau drei Wurzeln in den komplexen Zahlen (mit Vielfachheit gezahlt), garantiert durch den Fundamentalsatz der Algebra. Das sind entweder drei reelle Wurzeln oder eine reelle Wurzel und zwei komplex konjugierte Wurzeln. Anders als bei quadratischen Gleichungen hat eine kubische Gleichung immer mindestens eine reelle Wurzel.
Cardanos Methode ist das analytische Verfahren zum Losen kubischer Gleichungen, veroffentlicht von Gerolamo Cardano im Jahr 1545. Sie funktioniert, indem sie x = t - b/(3a) substituiert, um den x²-Term zu eliminieren (was die reduzierte kubische Gleichung t³ + pt + q = 0 ergibt), und dann die Diskriminante Δ = -4p³ - 27q² verwendet, um den Wurzeltyp zu bestimmen und die passende Formel anzuwenden.
Fur die reduzierte kubische Gleichung t³ + pt + q = 0 bestimmt die Diskriminante Δ = -4p³ - 27q² die Wurzelart. Wenn Δ > 0, gibt es drei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn Δ = 0, gibt es mehrfache Wurzeln. Wenn Δ < 0, gibt es eine reelle Wurzel und zwei komplex konjugierte Wurzeln.
Die trigonometrische Methode wird verwendet, wenn Δ > 0 - der Fall von drei verschiedenen reellen Wurzeln. Cardanos Formel wurde in diesem Fall Kubikwurzeln komplexer Zahlen erfordern. Die trigonometrische Methode nutzt die Substitution t = m·cos(θ), um alle drei Wurzeln sauber mithilfe des Kosinus auszudrucken.
Ja. Wenn Δ < 0, berechnet der Kubische-Gleichung-Rechner die eine reelle Wurzel und die zwei komplex konjugierten Wurzeln mit Cardanos Formel. Die komplexen Wurzeln werden in der Standardform a + bi mit Kopierschaltflachen angezeigt.
Wenn a = 0, ist die Gleichung nicht kubisch - sie wird quadratisch oder von niedrigerem Grad. Der Rechner zeigt einen Fehler an, der Sie auffordert, einen von null verschiedenen Wert fur a einzugeben. Verwenden Sie fur quadratische Gleichungen stattdessen unseren Quadratische-Gleichung-Rechner.
Ja, vollig. Alle Berechnungen erfolgen lokal in Ihrem Browser mit JavaScript. Ihre Koeffizienten und Ergebnisse werden nie an einen Server gesendet. Ihre Daten verlassen nie Ihr Gerat und gewahrleisten 100 % Privatsphare, wenn Sie kubische Gleichungen online losen.
Ja. Unser Kubische-Gleichung-Rechner ist 100 % kostenlos, ohne Anmeldung, ohne Konto und ohne Nutzungsgrenzen. Losen Sie so viele kubische Gleichungen wie Sie mochten - mit vollstandigen Schritten nach Cardanos Methode - kostenlos und fur immer.